#頭條創作挑戰賽#

a≠±1、0

解法①:依題意a≠0，a2≠0

∴1/（1-1/a）2+1/（1+1/a）2=6

令1-1/a=x，1+1/a=y

∴1/x2+1/y2=6

∴x2+y2=6x2y2…①

x+y=2…②

由②:x2+y2=（x+y）2-2xy=4-2xy…③代入①

4-2xy=6x2y2

∴3（xy）+xy-2=0

∴（3xy-2）（xy+1）=0

∴xy=2/3或xy=-1

當xy=2/3時，（1-1/a）（1+1/a）=2/3

∴1-1/a2=2/3，a2=3，a=±√3

當xy=-1時，（1-1/a）（1+1/a）=-1

∴1-1/a2=-1，a2=1/2，a=±√2/2

∴原方程得解為:a1=√3，a2=-√3，a3=√2/2，a4=-√2/2

解法②:分析:[a/（a-1）+a/（a+1）]2

=[2a2/（a2-1）]2

2.a/（a-1）.a/（a+1）=2a2/（a2-1）

∴原方程可變為

[a2/（a-1）2+2.a/（a-1）.a/（a+1）+a2/（a+1）2]-2.a/（a-1）.a/（a+1）-6=0

∴[a/（a-1）+a/（a+1）]2-2a2/（a2-1）-6=0

∴[2a2/（a2-1）]2-2a2/（a2-1）-6=0

令2a2/（a2-1）=x

∴x2-x-6=0

∴（x-3）（x+2）=0

∴x=3或x=-2

當x=3時，2a2/（a2-1）=3，a=±√3

當x=-2時，2a2/（a2-1）=-2，a=±√2/2

∴原方程得解為:a1=√3，a2=-√3，a3=√2/2，a4=-√2/2

解法③:分析:a/（a-1）+a/（a+1）

=（a2+a+a2-a）/（a2-1）=2a2/（a2-1）

a/（a-1）.a/（a+1）=a2/（a2-1）

令a/（a-1）=x，a/（a+1）=y

∴x2+y2=6…①

x+y=2xy…②

由①:（x+y）2-2xy=6…③

將②代入③:（x+y）2-（x+y）-6=0

∴[（x+y）-3][（x+y）+2]=0

∴x+y=3或x+y=-2

當x+y=3時，xy=3/2

∴2a2/（a2-1）=3，∴2a2=3a2-3，∴a=±√3

當x+y=-2時，xy=-1

∴2a2/（a2-1）=-2，2a2=-2a2+2，∴a2=1/2，a=±√2/2

∴原方程得解為:a1=√3，a2=-√3，a3=√2/2，a4=-√2/2